Two Stage Difference-in-Differences

Intro

두 단계 차이-차이(two stage Difference-in-Differences, 이하 2S-DID) 분석은 통계 모델의 한 형태로서, 복잡한 상황에서 처리 효과를 추정할 때 사용됩니다. 기본적인 차이-차이(DID) 모델은 처리 그룹과 대조 그룹 간의 차이를 시간에 따라 비교하여 처리의 효과를 추정합니다. 그러나, 때때로 연구자는 처리의 효과가 다른 요인에 의해 중개되는지 여부를 이해하기를 원할 수 있습니다. 이럴 때 두 단계 DID 분석이 사용될 수 있습니다.

첫 번째 단계: 여기서 연구자는 하나의 결과(예: 교육 프로그램의 참여)를 예측하기 위한 회귀 모델을 만듭니다. 이 단계는 일반적으로 공변량을 포함하여 해당 결과가 처리 여부(예: 정책 도입)에 어떻게 의존하는지를 추정합니다.

두 번째 단계: 첫 번째 단계에서 얻은 예측된 결과를 사용하여, 또 다른 회귀 모델을 통해 최종 관심 있는 결과(예: 임금)에 대한 처리의 효과를 추정합니다. 이 단계에서는 첫 번째 단계의 예측값을 독립 변수로 포함하여, 처리가 최종 결과에 미치는 직접적인 효과를 측정합니다.

2S-DID는 특히 처리가 하나의 결과를 통해 간접적으로 다른 결과에 영향을 미칠 때 유용합니다. 이 방법은 특정 처리가 예상된 중간 결과를 통해 최종 결과에 미치는 총체적인 효과를 이해할 수 있게 해줍니다. 예를 들어, 최저 임금 인상이 노동 시장 참여를 증가시키고, 이것이 다시 임금에 영향을 미칠 수 있습니다. 여기서 노동 시장 참여는 중간 결과이며, 임금은 최종 결과입니다.

이런 종류의 분석은 데이터의 세부 사항을 면밀히 파악하고, 다양한 가정들을 충족하는지 확인하는 것이 중요합니다. 만약 이 가정들이 충족되지 않으면, 추정된 효과는 편향될 수 있습니다.

Source

did2

Model

\[ y_{it} = \mu_{i} + \mu_{t} + \sum_{k=-L}^{-2} \tau^{k} D_{it}^{k} + \sum_{k=1}^{K} \tau^{k} D_{it}^{k} + \varepsilon_{it} \]

모델에 관해 상세히 봅시다.

1. 두 방향 고정 효과(TWFE): 이것은 시간에 따라 변하는 요소와 각 단위(예: 개인, 기업, 지역 등)의 특성을 동시에 통제할 수 있게 해주는 모델입니다. 모델의 식에서 \(\mu_i\)는 각 단위의 고정 효과를, \(\mu_t\)는 각 시간의 고정 효과를, \(D_i\)는 처리 여부를 나타내며, \(\varepsilon_{it}\)는 오차 항입니다.

2. 동적 이벤트 스터디 모델: 이 모델은 처리가 시작되기 전과 후의 여러 시점을 포함해서 처리 효과를 추정합니다. 여기서 k는 시간의 특정 지점을 나타내며, 처리 시작으로부터의 리드와 래그(즉, 앞뒤 시간대)를 고려합니다.

이러한 모형에서는 일반 최소 제곱법(Ordinary Least Squares, OLS)으로 이런 모델을 추정할 때 발생할 수 있는 문제점을 고려해 보아야 합니다. 특히, 처리 효과의 이질성이 클 때, 평균 처리 효과를 잘못 추정할 수 있다는 것입니다. 즉, 각 그룹에서 처리가 미치는 영향이 서로 다르게 나타날 수 있습니다.

이를 해결하는 한 가지 방법은 프리슈-워-러벨(FWL: Frisch-Waugh-Lovell) 정리를 통해 고정 효과를 고려하여 처리 효과를 다시 계산하는 것입니다. 이 방법은 처리되지 않았을 상황을 ’재구성’하여, 처리 효과의 추정치가 실제 통제 그룹의 결과와 비교될 수 있도록 합니다. 이론적으로는 처리를 받지 않은 상태의 결과를 일관되게 추정할 수 있다면, 실제 처리된 결과에서 이를 뺀 값이 처리의 순수한 효과를 나타낼 것입니다.

did2s

설치

install.packages('did2s')
#or
#remotes::install_github("kylebutts/did2s")

윈도우 사용자 여러분 Rtools를 먼저 설치해야 합니다. 구글 검색해서 설치하세요.

예

library(did2s)

경고: 패키지 ‘did2s’는 R 버전 4.2.3에서 작성되었습니다필요한 패키지를 로딩중입니다: fixest
did2s (v1.0.2). For more information on the methodology, visit <https://www.kylebutts.github.io/did2s>

To cite did2s in publications use:

  Butts, Kyle (2021).  did2s: Two-Stage Difference-in-Differences Following Gardner (2021). R
  package version 1.0.2.

LaTeX 사용자들을 위한 BibTeX 항목은 다음과 같습니다

  @Manual{,
    title = {did2s: Two-Stage Difference-in-Differences Following Gardner (2021)},
    author = {Kyle Butts},
    year = {2021},
    url = {https://github.com/kylebutts/did2s/},
  }

library(ggplot2)
library(dplyr)

data('df_het')
head(df_het)

df_het 데이터를 설명하겠습니다. 여기서 설명하는 가상 데이터셋은 패널 데이터 형식을 가지고 있으며, 두 개의 처리 그룹과 이질적인 효과를 포함하고 있습니다. 데이터 프레임에는 총 31,000개의 행과 15개의 변수가 있습니다:

• unit: 패널 데이터에서의 개별 대상(예: 사람, 기업 등)을 나타냅니다.
• year: 패널 데이터에서의 시간을 나타내며, 보통 연도를 의미합니다.
• g: 처리가 시작되는 연도입니다.
• dep_var: 결과 변수로, 분석의 주요 관심사인 변수를 나타냅니다.
• treat: 처리 여부를 나타내는 참/거짓 변수로, 처리가 실제로 적용된 시기를 나타냅니다.
• rel_year: 처리 시작에 대한 상대적인 연도를 나타냅니다. ’Inf’는 절대 처리되지 않는 경우를 의미합니다.
• rel_year_binned: 처리 시작에 대한 상대적인 연도를 나타내지만, -6 이하 및 6 이상의 값은 범주화되어 집계됩니다.
• unit_fe: 개별 대상에 대한 고정 효과(Fixed Effect)입니다.
• year_fe: 연도에 대한 고정 효과입니다.
• error: 랜덤 오류 구성 요소로, 모델에 무작위성을 추가합니다.
• te: 처리의 정적(변하지 않는) 효과를 나타내는 변수입니다.
• te_dynamic: 처리의 동적(변화하는) 효과를 나타내는 변수입니다.
• state: 개별 대상이 속한 주를 나타냅니다.
• group: 그룹의 문자열 이름으로, 데이터가 속한 범주나 집단을 나타냅니다.

이 데이터는 시간에 따라 다른 개인이나 단위들에 대해 처리(예: 정책 변경, 프로그램 도입 등)가 어떤 영향을 미쳤는지를 분석하기 위한 것으로 보입니다. 각 변수들은 처리의 영향을 평가하고, 결과를 해석하는 데 필요한 다양한 차원을 제공합니다. 데이터셋의 구조를 통해 연구자는 처리가 시작되기 전과 후의 결과를 비교하고, 처리의 영향이 시간에 따라 어떻게 변하는지, 그리고 이러한 효과가 개별 대상이나 그룹마다 어떻게 다른지를 분석할 수 있습니다.

df_het %>% 
  group_by(year,g) %>% 
  summarize(outcome = mean(dep_var)) %>% 
  ungroup() %>% 
  ggplot(aes(x=year,y=outcome,col=as.factor(g))) +
  geom_point() +
  geom_line() + 
  theme_bw()

`summarise()` has grouped output by 'year'. You can override using the `.groups` argument.

처리가 시작된 2000년과 2010년에 따라 기울기의 변화가 급격히 나타나는 것을 볼 수 있습니다.

Estimate Two-stage Difference-in-Differences

Static DID

“정적 차이-차이 추정(static DiD estimation)”이란 변하지 않는 효과를 가진 차이-차이 모델을 추정하는 것입니다. 여기서 설명된 내용에 따르면, R의 fixest 패키지의 기능들을 활용해 이 과정을 수행할 수 있습니다. 여기서 몇 가지 중요한 포인트가 있습니다:

1. 고정 효과 명시: fixest::feols 함수를 사용하면 | 기호를 이용해 고정 효과를 손쉽게 명시할 수 있습니다. 고정 효과는 시간이나 개체 등에 따른 변하지 않는 특성을 모델에서 통제하는 것을 말합니다.

2. 개선된 요인 변수 지원: fixest::i는 범주형 변수를 더 잘 처리할 수 있도록 해주며, 이는 모델의 해석을 개선할 수 있습니다.

3. did2s 함수와 fixest 객체: did2s 함수를 사용해 추정하면, fixest 패키지의 추정 객체를 반환합니다. 이는 fixest::esttable (추정 결과를 표로 나타내기), fixest::coefplot (계수를 그래프로 나타내기), 그리고 fixest::iplot (상호작용 항을 포함한 모델의 결과를 그래프로 나타내기) 같은 fixest 패키지의 다른 함수들과 호환됩니다.

이를 통해, 고정 효과를 포함한 정적 DiD 모델을 추정하고, 이 결과를 다양한 방식으로 시각화하거나 표현할 수 있습니다. 이 모든 과정이 fixest 패키지 안에서 이루어지기 때문에, 분석 과정이 통합되고 효율적입니다.

static = did2s(
  df_het, #data
  yname = 'dep_var',
  first_stage = ~ 0 | state + year,
  second_stage = ~ i(treat,ref=FALSE),
  treatment = 'treat',
  cluster_var = 'state'
)

Running Two-stage Difference-in-Differences
 - first stage formula `~ 0 | state + year`
 - second stage formula `~ i(treat, ref = FALSE)`
 - The indicator variable that denotes when treatment is on is `treat`
 - Standard errors will be clustered by `state`

결과를 봅시다.

fixest::esttable(static)

                           static
Dependent Var.:           dep_var
                                 
treat = TRUE    2.152*** (0.0476)
_______________ _________________
S.E. type                  Custom
Observations               46,500
R2                        0.33790
Adj. R2                   0.33790
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

추정 결과는 fixest::esttable 함수로 출력되며, ’treat = TRUE’의 계수는 처리 효과를 나타냅니다. 여기서 추정된 효과는 2.152로, 괄호 안의 숫자 0.0476은 계수의 표준 오차를 나타냅니다. 별표 세 개는 이 효과가 통계적으로 매우 유의미함을 나타냅니다(일반적으로 p-value가 0.001보다 작을 때 사용됩니다).

이 결과는 ‘treat’ 변수가 참일 때(즉, 처리가 적용되었을 때) 예상되는 종속 변수 ’dep_var’의 변화량이 약 2.152 단위라는 것을 보여주며, 이 변화량은 통계적으로 유의미한 것으로 나타났습니다. 이는 처리(예: 정책, 프로그램 등)가 긍정적인 영향을 미쳤음을 나타낼 수 있습니다.

Event study

es <- did2s(df_het,
            yname='dep_var',
            first_stage = ~0|state+year,
            second_stage = ~i(rel_year,ref=c(-1,Inf)),
            treatment = 'treat',
            cluster_var='state')

Running Two-stage Difference-in-Differences
 - first stage formula `~ 0 | state + year`
 - second stage formula `~ i(rel_year, ref = c(-1, Inf))`
 - The indicator variable that denotes when treatment is on is `treat`
 - Standard errors will be clustered by `state`

참고로 i()는 fixest에 있는 함수에요. Create or interact variables with, factors라는 제목이 있지요. rel_year를 각각의 요인으로 처리하는 데 ref는 참조 벡터의 값입니다. 만약 ref=TRUE이면 factor_var의 첫 번째 값을 제거합니다. 이는 범주형 변수에서 기준 카테고리 수준을 결정하는데 사용하고, c(-1,Inf)와 같은 경우에는 reference를 -1부터 무한대로 잡고 있습니다.

결과를 살펴보겠습니다.

fixest::esttable(es)

                                es
Dependent Var.:            dep_var
                                  
rel_year = -20   -0.0793. (0.0461)
rel_year = -19    -0.0271 (0.0532)
rel_year = -18    -0.0272 (0.0486)
rel_year = -17    -0.0336 (0.0428)
rel_year = -16    -0.0558 (0.0529)
rel_year = -15     0.0168 (0.0507)
rel_year = -14    -0.0209 (0.0493)
rel_year = -13    -0.0222 (0.0398)
rel_year = -12     0.0054 (0.0457)
rel_year = -11    -0.0479 (0.0594)
rel_year = -10    -0.0325 (0.0341)
rel_year = -9     -0.0375 (0.0304)
rel_year = -8     -0.0309 (0.0321)
rel_year = -7     -0.0071 (0.0363)
rel_year = -6     -0.0396 (0.0272)
rel_year = -5   -0.0792** (0.0304)
rel_year = -4     -0.0342 (0.0280)
rel_year = -3     -0.0152 (0.0305)
rel_year = -2     -0.0387 (0.0323)
rel_year = 0     1.304*** (0.0561)
rel_year = 1     1.533*** (0.0644)
rel_year = 2     1.597*** (0.0567)
rel_year = 3     1.719*** (0.0606)
rel_year = 4     1.846*** (0.0477)
rel_year = 5     1.991*** (0.0563)
rel_year = 6     2.079*** (0.0643)
rel_year = 7     2.165*** (0.0585)
rel_year = 8     2.259*** (0.0580)
rel_year = 9     2.278*** (0.0533)
rel_year = 10    2.415*** (0.0601)
rel_year = 11    2.456*** (0.0819)
rel_year = 12    2.507*** (0.0797)
rel_year = 13    2.481*** (0.0846)
rel_year = 14    2.626*** (0.0697)
rel_year = 15    2.813*** (0.0827)
rel_year = 16    2.763*** (0.0824)
rel_year = 17    2.811*** (0.0794)
rel_year = 18    2.777*** (0.0818)
rel_year = 19    2.786*** (0.0902)
rel_year = 20    2.815*** (0.0830)
_______________ __________________
S.E. type                   Custom
Observations                46,500
R2                         0.36048
Adj. R2                    0.35994
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

시각적으로 알아봅니다.

fixest::iplot(es, 
              main = "Event study: Staggered treatment", 
              xlab = "Relative time to treatment", 
              col = "steelblue", 
              ref.line = -0.5)

# Add the (mean) true effects
true_effects = head(tapply((df_het$te + df_het$te_dynamic), df_het$rel_year, mean), -1)
points(-20:20, true_effects, pch = 20, col = "black")

# Legend
legend(x=-20, y=3, col = c("steelblue", "black"), pch = c(20, 20), 
       legend = c("Two-stage estimate", "True effect"))

남은 것들

Comparison to TWFE를 생각해 봅시다. 2S-DID와 전통적인 TWFE 간의 모델 추정에 대해 이해하기로 합니다.

twfe = feols(dep_var ~ i(rel_year, ref=c(-1, Inf)) | unit + year, data = df_het)

그리고 앞서 구한 결과와 비교합니다.

fixest::iplot(list(es, twfe), sep = 0.2, ref.line = -0.5,
      col = c("steelblue", "#82b446"), pt.pch = c(20, 18), 
      xlab = "Relative time to treatment", 
      main = "Event study: Staggered treatment (comparison)")

points(-20:20, true_effects, pch = 21, col = "red")

# Legend
legend(x=-20, y=3, col = c("steelblue", "#82b446","red"), pch = c(20, 18,21), 
       legend = c("Two-stage estimate", "TWFE","True"))

코드 해설입니다.

1. TWFE 추정: feols 함수를 사용해 TWFE 모델을 추정합니다. 이 모델은 dep_var (종속 변수)와 rel_year (처리 시작 대비 상대적인 연도)의 관계를 분석하며, 여기서 -1과 Inf를 참조 카테고리로 설정합니다. 이 추정에서는 또한 각 unit과 year에 대한 고정 효과를 포함합니다. 데이터는 df_het에서 가져옵니다.

2. 그래프 플로팅: fixest::iplot 함수는 2S-DID 모델(es)과 TWFE 모델(twfe)의 결과를 비교하는 그래프를 생성합니다. 여기서 sep는 추정치 간의 수직 간격을, ref.line은 기준선의 위치를, col은 선의 색을, pt.pch는 포인트 마커의 형태를 정의합니다. xlable과 main은 각각 x축 레이블과 그래프의 제목입니다.

3. 범례 추가: legend 함수를 사용해 그래프에 범례를 추가합니다. 이 범례는 두 추정 방법을 구별하기 위해 사용됩니다. 위치와 색상, 포인트 마커가 정의됩니다.

감사합니다.